GROEPENTHEORIE HOORCOLLEGE 13-04-2026

Def: G = groep, een ondergroep N c G heet een normaaldeler (van G) als:
     Voor alle g in G, voor alle n in N: gn(g^-1) in N.
     Geschreven als N <| G

Vb: Stel G is abels. Dan is elke ondergroep van G een normaaldeler.
    Reden: gn(g^-1) = g(g^-1)n = en = n in N

Def: Het centrum van een groep G is gegeven door: 
     Z(G) := {g in G | voor alle h in G: gh = hg}

Vb: Als N c Z(G) c G dan is N een normaaldeler van G.

Stel N c Z(G)
Willen: Voor alle g in G, voor alle n in N: gn(g^-1) in N
        gn(g^-1) = g(g^-1)n = en = n in N

Vb: n >= 3, D_n = <r,s>, <s> = {id, s}, <s> c <r,s>
    is niet een normaaldeler want: rs(r^-1) = rrs = (r^2)s niet in {id,s}

Opm: Als H c G een ondergroep is en g in G, dan: 
     gH(g^-1) = {gh(g^-1) | h in H}
     Dit is weer een ondergroep van G.

Dan geldt: N c G is normaaldeler <=> voor alle g in G: gN(g^-1) = N
Bewijs: "<=": triviaal
        "=>": Stel N <| G. Dit zegt: voor alle g in G: gN(g^-1) c N
              Merk nu op: Als dit geldt voor alle g in G, dan dus ook voor
              (g^-1), dus: (g^-1)Ng maar hieruit volgt:
              N = g((g^-1)Ng)(g^-1) c gN(g^-1)
              => voor alle g in G: gN(g^-1) = N

Stelling: Zij f: G_1 -> G_2 een homomorfisme van groepen. Dan is Ker(f) <| G.
Bewijs: Neem n in Ker(f) en g in G_1. Claim: gn(g^-1) in Ker(f). Dit is waar
        want: f(gn(g^-1)) = f(g) f(n) f(g^-1) = f(g) e_1 (f(g)^-1) = e_2

Vb: S_n |> A_n := {s in S_n | e(s) = 1} = Ker(e: S_n -> {+-1})

Vb: GL_n(C) |> SL_n(C) := {A in GL_n(C) | det(A) = 1}
    = Ker(det: GL_n(C) -> (C^*))

Def: G groep, [G,G] c G := <[g,h] | g, h in G>, waarbij [g,h] = gh(g^-1)(h^-1).
     Dit is de commutatorondergroep.

Opm: [g,h] = e <=> gh = hg

Ihb: G abels <=> [G,G] = {e}

Eigenschap: Als N c G een ondergroep is met [G,G] c N, dan is N <| G.
Reden: Stel [G,G] c N, neem n in N en g in G; dan geldt: gn(g^-1) = [g,n]n
       en [g,n] in [G,G] c N, en n in N dus [g,n]n in N.

Stelling: N c G ondergroep. Dan geldt: N is normaaldeler <=>
          voor alle g in G: gN = Ng
Bewijs: N is normaaldeler <=> gN(g^-1) = N <=> gN = Ng

Toepassing: Stel [G:N] = 2. Dan is N <| G.

H c G ~> G/H = {linkernevenklassen van H in G}

[?] kan je G/H de structuur geven van een groep, door als groepswet te nemen:
 |  g_1H * g_2H = g_1g_2H
 -> A: NEE!

Stelling: Zij N <| G een normaaldeler. Dan vormt de verzameling G/N een groep
          met groepswet gegeven door g_1N * g_2N = g_1g_2N          (1)
          Het eindheidselement van G/N is eN = N = Ne, en de inverse van gN is
          (g^-1)N.
Bewijs: (1) is wegedefineerd: Stel je hebt g_1, g_2, h_1, h_2 in G met
        g_1N = h_1N en g_2N = h_2N. Dan geldt:
          g_1N = h_1N <=> (h_1^-1)g_1 in N
          g_2N = h_2N <=> (h_2^-1)g_2 in N
          g_1g_2N = h_1h_2N <=> ((h_1h_2)^-1)g_1g_2 in N
                            <=> (h_2^-1)(h_1^-1)g_1g_2 in N
        (h_2^-1)(h_1^-1)g_1g_2 = (h_2^-1)((h_1^-1)g_1)h_2((h_2^-1)g_2) in N
                                         \___________/   \___________/
                                             in N            in N
                                 \______________________/
                                     in N want N <| G

associativiteit: (g_1N * g_2N) * g_3N =?= g_1N * (g_2N * g_3N)
                               =               =
                       g_1g_2N * g_3N     g_1N * g_2g_3N
                               =               =
                         (g_1g_2)g_3N  =  g_1(g_2g_3)N (want G is een groep)

eN * gN = egN = gN
gN * (g^-1)N = (g(g^-1))N = eN

Stelling: N <| G. Dan is de canonieke afbeelding can: G ->> G/N
          is een surjectief homomorfisme van groepen en Ker(can) = N
Bewijs: Ker(can) = {g in G | gN = eN} = (g in G | g in N} = N
        homomorfisme volgt uit (1)

Vb: G = S_4 |> N = V_4 = {id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (2 3)(1 4)}
    [?] G/V_4 =~= S_3
        (1 2)V_4 * (2 3)V_4 = (1 2 3)V_4
                                 =/=
        (2 3)V_4 * (1 2)V_4 = (1 3 2)V_4
        (1 3 2)^-1 * (1 2 3) = (1 2 3)(1 2 3) = (1 3 2) niet in V_4
        (# = 6 ->) S_3 c-> S_4 ->> S_4/V_4 (<- # = 6)
                    \________f_______^
        Ker(f) = {t in S_3 | t in V_4} = {id}
        => f c->               \     
                                > f -~->
           #S_3 = #S_4/V_4 = 6 /